题目内容
关于数列有下列命题：
（1）数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=an-1（a∈R），则{an}为等差或等比数列；
（2）数列{an}为等差数列，且公差不为零，则数列{an}中不会有am=an（m≠n），
（3）一个等差数列{an}中，若存在ak+1＞ak＞0（k∈N*），则对于任意自然数n＞k，都有an＞0；
（4）一个等比数列{an}中，若存在自然数k，使ak•ak+1＜0，则对于任意n∈N*，都有an•an+1＜0，
其中正确命题的序号是 ．
（1）数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=an-1（a∈R），则{an}为等差或等比数列；
（2）数列{an}为等差数列，且公差不为零，则数列{an}中不会有am=an（m≠n），
（3）一个等差数列{an}中，若存在ak+1＞ak＞0（k∈N*），则对于任意自然数n＞k，都有an＞0；
（4）一个等比数列{an}中，若存在自然数k，使ak•ak+1＜0，则对于任意n∈N*，都有an•an+1＜0，
其中正确命题的序号是
考点：命题的真假判断与应用
专题：等差数列与等比数列
分析：（1），当a=0时，a1=-1，a2=a3=…=0，由此可判断（1）；
（2），利用反证法可判断（2）正确；
（3），依题意，可得公差d＞0，从而可判断（3）正确；
（4），个等比数列{an}中，ak•ak+1＜0，可知公比q＜0，从而可判断（4）正确．
（2），利用反证法可判断（2）正确；
（3），依题意，可得公差d＞0，从而可判断（3）正确；
（4），个等比数列{an}中，ak•ak+1＜0，可知公比q＜0，从而可判断（4）正确．
解答：
解：对于（1），数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=an-1（a∈R），
当a=0时，a1=-1，a2=a3=…=0，{an}既不是等差又不是等比数列，故（1）错误；
对于（2），数列{an}为等差数列，且公差不为零，则数列{an}中不会有am=an（m≠n），
假设am=an（m≠n），则a1+（m-1）d=a1+（n-1）d，整理可得m=n，这与m≠n矛盾，
故假设不成立，原命题正确，即（2）正确；
对于（3），一个等差数列{an}中，若存在ak+1＞ak＞0（k∈N*），由ak+1=ak+d知ak+d＞ak＞0，故d＞0，
所以，对于任意自然数n＞k，都有an＞0，（3）正确；
对于（4），一个等比数列{an}中，若存在自然数k，使ak•ak+1＜0，则qak2＜0，即q＜0，
则对于任意n∈N*，都有an•an+1=qan2＜0，正确．
综上所述，正确命题的序号是②③④．
故答案为：②③④．
当a=0时，a1=-1，a2=a3=…=0，{an}既不是等差又不是等比数列，故（1）错误；
对于（2），数列{an}为等差数列，且公差不为零，则数列{an}中不会有am=an（m≠n），
假设am=an（m≠n），则a1+（m-1）d=a1+（n-1）d，整理可得m=n，这与m≠n矛盾，
故假设不成立，原命题正确，即（2）正确；
对于（3），一个等差数列{an}中，若存在ak+1＞ak＞0（k∈N*），由ak+1=ak+d知ak+d＞ak＞0，故d＞0，
所以，对于任意自然数n＞k，都有an＞0，（3）正确；
对于（4），一个等比数列{an}中，若存在自然数k，使ak•ak+1＜0，则qak2＜0，即q＜0，
则对于任意n∈N*，都有an•an+1=qan2＜0，正确．
综上所述，正确命题的序号是②③④．
故答案为：②③④．
点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查等差数列与等比数列的概念、通项公式及性质的应用，属于中档题．
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