Question

已知函数f（x）=e^x-ax²，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线在x轴上的截距为

1

2-e

．
（1）求实数a的值；
（2）设g（x）=f（2x）-f（x），求证：g（x）在R上单调递增．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数的导数，利用导数的几何意义，即可得到结论．
（2）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可得到结论．

解答： 解：（1）函数的导数f′（x）=e^x-2ax，f′（1）=e-2a，f（1）=e-a，
∴y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-（e-a）=（e-2a）（x-1），
由y=0，得x=

a

2a-e

，
∵切线在x轴上的截距为

1

2-e

．
∴

a

2a-e

=

1

2-e

．解得a=1．
（2）由（1）知f（x）=f（x）=e^x-x²，则g（x）=e^2x-e^x-3x²，
函数的导数g′（x）=2e^2x-e^x-6x，
令h（x）=2e^2x-e^x-6x，
h′（x）=2e^2x-e^x-6，
令h′（x）＞0，得ex＞

1+ 97

8

或ex＜

1- 97

8

（舍去），
∴当x＞ln

1+ 97

8

时，h（x）递增，
当x＜ln

1+ 97

8

时，h（x）递减，
∴h（x）≥h（

1+ 97

8

）=2（

1+ 97

8

）²-

1+ 97

8

-6ln

1+ 97

8

=

47- 97

16

-6ln

1+ 97

8

＞

47-10

16

-6ln

1+10

8

=

37

16

-6ln(

3

8

+1)，
下面证明：ln（x+1）≤x，（x＞-1），
设d（x）=ln（x+1）-x，则d′（x）=

1

x+1

-1=

-x

x+1

，
则d（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
∴d（x）≤d（0）=0，∴ln（x+1）≤x，
∴ln（

3

8

+3）≤

3

8

，
∴h（x）＞

37

16

-6×

3

8

=

1

16

＞0，
即g（x）在R上单调递增．

点评：本题主要考查导数的几何意义的应用，以及利用导数证明函数的单调性，综合考查导数的应用，运算量较大，难度较大．