题目内容
已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设a＜-1，若对任意x1、x2恒有|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|，求a的取值范围．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设a＜-1，若对任意x1、x2恒有|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|，求a的取值范围．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值
专题：导数的综合应用
分析：（1）f′（x）=
+2ax=
，（x∈（0，+∞））．对a分类讨论：当a≥0时，当a≤-1时，当-1＜a＜0时，利用导数研究函数的单调性即可；
（2）不妨设0＜x1≤x2，对任意x1、x2恒有|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|?f（x1）-f（x2）≥4（x2-x1），
?f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2，令g（x）=f（x）+4x，则g′（x）=f′（x）+4=
+2ax+4，等价于g（x）在（0，+∞）上单调递减，即
+2ax+4≤0，分离参数即可得出．
| a+1 |
| x |
| 2ax2+a+1 |
| x |
（2）不妨设0＜x1≤x2，对任意x1、x2恒有|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|?f（x1）-f（x2）≥4（x2-x1），
?f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2，令g（x）=f（x）+4x，则g′（x）=f′（x）+4=
| a+1 |
| x |
| a+1 |
| x |
解答：
解：（1）f′（x）=
+2ax=
，（x∈（0，+∞））．
当a≥0时，f′（x）＞0，因此函数f（x）在x∈（0，+∞）单调递增．
当a≤-1时，f′（x）＜0，因此函数f（x）在x∈（0，+∞）单调递减．
当-1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x=
．
当x∈(0，
)时，f′（x）＞0，函数f（x）在x∈(0，
)单调递增．
当x∈(
，+∞)时，f′（x）＜0，函数f（x）在x∈(
，+∞)单调递减．
（2）不妨设0＜x1≤x2，对任意x1、x2恒有|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|
?f（x1）-f（x2）≥4（x2-x1），
?f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2，（*）
令g（x）=f（x）+4x，则g′（x）=f′（x）+4=
+2ax+4，
（*）等价于g（x）在（0，+∞）上单调递减，即
+2ax+4≤0，
从而a≤
=
-2≤-2，
∴a的取值范围是（-∞，-2]．
| a+1 |
| x |
| 2ax2+a+1 |
| x |
当a≥0时，f′（x）＞0，因此函数f（x）在x∈（0，+∞）单调递增．
当a≤-1时，f′（x）＜0，因此函数f（x）在x∈（0，+∞）单调递减．
当-1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x=
-
|
当x∈(0，
-
|
-
|
当x∈(
-
|
-
|
（2）不妨设0＜x1≤x2，对任意x1、x2恒有|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|
?f（x1）-f（x2）≥4（x2-x1），
?f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2，（*）
令g（x）=f（x）+4x，则g′（x）=f′（x）+4=
| a+1 |
| x |
（*）等价于g（x）在（0，+∞）上单调递减，即
| a+1 |
| x |
从而a≤
| -4x-1 |
| 2x2+1 |
| (2x-1)2 |
| 2x2+1 |
∴a的取值范围是（-∞，-2]．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法、分类讨论的思想方法，考查了分离参数法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
练习册系列答案
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| C、18 | ||
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