Question

设函数f（x）=

x2+a

bx-c

（b，c∈N⁺）．若方程f（x）=x的根为0和2，且f（-2）＜-

1

2

（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知各项均不为零的数列{a_n}满足：4S_nf（

1

an

）=1（S_n为该数列前n项和），求该数列的通项公式a_n．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设

x2+a

bx-c

=x，得（1-b）x²+cx+a=0，由

2+0= c 1-b 2×0= a 1-b

，得a=0，b=1+

c

2

，由此能求出f（x）．
（2）由已知得2Sn=an-an2，从而2S_n-1=an-1-an-12，由此能求出a_n=-n．

解答： 解：（1）∵f（x）=

x2+a

bx-c

（b，c∈N⁺），方程f（x）=x的根为0和2，
∴设

x2+a

bx-c

=x，得（1-b）x²+cx+a=0，
∴

2+0= c 1-b 2×0= a 1-b

，解得a=0，b=1+

c

2

，
∴f（x）=

x2

(1+ c 2 )x-c

，
f（-2）=

-2

1+c

＜-

1

2

，解得c＜3，
又b，c∈N^*，∴c=2，b=2，
∴f（x）=

x2

2(x-1)

，x≠1．
（2）由已知得2Sn=an-an2，
∴2S_n-1=an-1-an-12，
两式相减，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1+1）=0，
∴a_n=-a_n-1或a_n-a_n-1=-1，
当n=1时，2a1=a1-a12，∴a₁=-1，
若a_n=-a_n-1，则a₂=1，
这与a_n≠1矛盾，
∴a_n-a_n-1=-1，∴a_n=-n．

点评：本题考查函数的解析式的求法，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要注意函数性质的合理运用．