题目内容
在△ABC中，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a，b，c满足b2=a2+c2-ac若b=2
，则△ABC面积的最大值为 ．
| 3 |
考点：余弦定理,正弦定理
专题：计算题,解三角形
分析：由b与cosB的值，利用余弦定理列出关系式，利用基本不等式变形求出ac的最大值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将ac的最大值代入即可求出三角形ABC面积的最大值．
解答：
解：∵b2=a2+c2-ac，即a2+c2-b2=ac，
∴cosB=
=
，
∵B为三角形的内角，
∴B=
；sinB=
∵b=2
，cosB=
，
∴由余弦定理得：12=b2=a2+c2-ac≥ac，
∴S△ABC=
acsinB=
≤3
，
则△ABC面积的最大值为3
．
∴cosB=
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
| 1 |
| 2 |
∵B为三角形的内角，
∴B=
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
∵b=2
| 3 |
| 1 |
| 2 |
∴由余弦定理得：12=b2=a2+c2-ac≥ac，
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
| 3 |
则△ABC面积的最大值为3
| 3 |
点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式的运用，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
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