Question

设函数f（x）=

|x+1|+|x-2|+a

．
（1）当a=-5时，求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由|x+1|+|x-2|-5≥0，然后构造函数y=|x+1|+|x-2|，在同一坐标系内画出函数y=|x+1|+|x-2|与y=5的图象得答案；
（2）函数f（x）的定义域为R，说明当x∈R时，恒有|x+1|+|x-2|+a≥0，即|x+1|+|x-2|≥-a，然后结合绝对值的几何意义求得a的取值范围．

解答： 解：（1）由题设知：|x+1|+|x-2|-5≥0，
如图，在同一坐标系中作出函数y=|x+1|+|x-2|
和y=5的图象（如图所示），知定义域为（-∞，-2]∪[3，+∞）；

（2）由题设知，当x∈R时，恒有|x+1|+|x-2|+a≥0，
即|x+1|+|x-2|≥-a，由（1）|x+1|+|x-2|≥3，
∴-a≤3，即a≥-3．

点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了数形结合的解题思想方法，考查了绝对值的几何意义，是中档题．