Question

已知圆C和y轴相切，圆心在直线x-3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为2

7

．
（1）求圆C的方程；  
（2）判断圆C与圆M：（x-10）²+（y-10）²=1的位置关系．

Answer 1

考点：圆与圆的位置关系及其判定,圆的标准方程

专题：直线与圆

分析：（1）由圆心在直线x-3y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，然后过圆心作出弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为弦的中点，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线y=x的距离d，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．
（2）求出两个圆的圆心坐标，求出半径，利用圆心距与半径的和与差的关系，判断两个圆的位置关系．

解答： 解：（1）设圆心为（3t，t），半径为r=|3t|，
则圆心到直线y=x的距离 d=

|3t-t|

2

=|

2

t|，
而 （

7

）²=r²-d²，9t²-2t²=7，t=±1，
∴（x-3）²+（y-1）²=9或（x+3）²+（y+1）²=9．
（2）圆C为（x-3）²+（y-1）²=9时，圆心（3，1），半径为3，
圆M：（x-10）²+（y-10）²=1的圆心（10，10），半径为1，
圆心距：

(10-3)2+(10-1)2

=

130

＞3+1，
两个圆相离．
圆C为（x+3）²+（y+1）²=9时，圆心（-3，-1），半径为3，
圆M：（x-10）²+（y-10）²=1的圆心（10，10），半径为1，
圆心距：

(10+3)2+(10+1)2

=

290

＞3+1，
两个圆相离．

点评：考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式．根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键，同时考查圆与圆的位置关系，考查计算能力．