Question

设方程|ax-1|=x的解集为A，若A?≠[0，2]，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：将绝对值不等式转化为不等式组，然后解之．

解答： 解：∵A?≠[0，2]，
方程两边平方得a²x²-2ax+1=x²，整理得（a²-1）x²-2ax+1=0，
当a=1时，方程为|x-1|=x，解得x=

1

2

，A={

1

2

}，满足题意；
当a=-1时，方程为|x+1|=x，解得x=-

1

2

，A=∅，满足题意；
当a²-1≠0时，方程等价于[（a+1）x-1][（a-1）x-1]=0，
要使A?≠[0，2]，①两根为正根时，只要0≤

1

a+1

≤2并且0≤

1

a-1

≤2，解得a≥-

1

2

且a≥

3

2

，所以a≥

3

2

；
②当

1

a+1

＞0并且

1

a-1

＜0时，只要0≤

1

a+1

≤2，解得-

1

2

≤a＜1；
所以A?≠[0，2]，则实数a的取值范围是-

1

2

≤a≤1或a≥

3

2

；
故答案为：a=-1或-

1

2

≤a≤1或a≥

3

2

．

点评：本题考查了绝对值不等式、绝对值方程的解法，关键是转化为一般不等式或者不等式组解之．