Question

已知函数f（x）=cosx-cos（x+

π

2

），x∈R．
（1）若f（a）=

3

4

，求sin2a的值；
（2）求f（x）的最大值．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）由诱导公式：

π

2

+α，以及两边平方，结合同角的平方关系和二倍角的正弦公式，即可得到所求值；
（2）由（1）得到的函数f（x）的解析式，运用正弦函数的最值，即可得到．

解答： 解：（1）f（x）=cosx-cos（x+

π

2

）
=cosx+sinx=

2

（

2

2

cosx+

2

2

sinx）=

2

sin（x+

π

4

），
由f（a）=

3

4

，即cosa+sina=

3

4

，
两边平方得，cos²a+sin²a+2sinacosa=

9

16

，
即有1+sin2a=

9

16

，
则sin2a=-

7

16

；
（2）由（1）得f（x）=

2

sin（x+

π

4

），
则f（x）的最大值为

2

，此时x+

π

4

=2kπ+

π

2

，k∈Z，
即有x=2kπ+

π

4

，k∈Z．

点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查诱导公式和两角和的正弦公式以及二倍角公式的运用，考查正弦函数的最值，属于中档题．