Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin²A+sin²B+cos²C=1+sinAsinB
（1）求角C的大小；
（2）若c=2，且△ABC的面积为

3

，求a，b．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：（1）利用正弦定理化简已知的等式，得到三边的关系式，再利用余弦定理表示出cosC，根据C为三角形的内角，可求角C的大小；
（2）c=2，可得a²+b²-ab=4，利用三角形的面积公式，可得ab=4，即可求出a，b的值．

解答： 解：∵sin²A+sin²B+cos²C=1+sinAsinB
∴sin²A+sin²B-sinAsinB=sin²C，
利用正弦定理化简得：a²+b²-ab=c²，即a²+b²-c²=ab，
∴根据余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
∵C为三角形的内角，
∴C=

π

3

；
（2）∵c=2，
∴a²+b²-ab=4①，
∵△ABC的面积为

3

，
∴S_△ABC=

1

2

ab•sinC=

3

，
∴ab=4②，
∴由①②可得a=b=2．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．