Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=（x-a）²+（lnx-a）²．
（Ⅰ）求函数f（x）在A（1，0）处的切线方程；
（Ⅱ）若g′（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）证明：g（x）≥

1

2

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数，确定切线的斜率，尽快求函数f（x）在A（1，0）处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可；
（Ⅲ）令h（a）=2a²-2（x+lnx）a+x²+ln²x，则h（a）≥

(x-lnx)2

2

，令Q（x）=x-lnx，求出Q（x）_min=Q（1）=1，即可证明结论．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=lnx，
∴f′（x）=

1

x

，…（1分）
∴f′（1）=1，…（2分）
故切线方程为y=x-1；…（4分）
（Ⅱ）解：∵g（x）=（x-a）²+（lnx-a）²，
∴g′（x）=2（x-

a

x

+

lnx

x

-a），…（5分）
令F（x）=x-

a

x

+

lnx

x

-a，则y=F（x）在[1，+∞）上单调递增．
F′（x）=

x2-lnx+a+1

x2

，则当x≥1时，x²-lnx+a+1≥0恒成立，
即当x≥1时，a≥-x²+lnx-1恒成立．…（6分）
令G（x）=-x²+lnx-1，则当x≥1时，G′（x）=

1-2x2

x

＜0，
故G（x）=-x²+lnx-1在[1，+∞）上单调递减，从而G（x）_max=G（1）=-2，（7分）
故a≥-2．…（8分）
（Ⅲ）证明：g（x）=（x-a）²+（lnx-a）²=2a²-2（x+lnx）a+x²+ln²x，
令h（a）=2a²-2（x+lnx）a+x²+ln²x，则h（a）≥

(x-lnx)2

2

．…（9分）
令Q（x）=x-lnx，则Q′（x）=

x-1

x

，显然Q（x）=在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，…（10分）
则Q（x）_min=Q（1）=1，…（11分）
则g（x）=h（a）≥

1

2

．…（12分）

点评：本题主要考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义、函数单调性与最值，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，属于中档题．