Question

根据要求证明下列各题：
（1）用分析法证明：

3

-

2

＞

6

-

5

（2）用分析法证明：1，

2

，3不可能是一个等差数列中的三项．

Answer 1

考点：综合法与分析法(选修）

专题：选作题,分析法,反证法

分析：（1）分析使不等式

3

-

2

＞

6

-

5

成立的充分条件，一直分析到使不等式成立的充分条件显然具备，从而不等式得证．
（2）利用反证法证明，假设1，

2

，3是某一个等差数列中的三项，且分别是第m，n，k项，推出

2

-1是有理数，这与

2

-1是无理数相矛盾，即可证明不可能是等差数列中的三项．

解答： 证明：（1）要证：

3

-

2

＞

6

-

5

；即证：

3

+

5

＞

2

+

6

；
即证：(

3

+

5

)2＞(

2

+

6

)2；即证：8+2

15

＞8+2

12

；
即证：

15

＞

12

；即证：15＞12；而15＞12显然成立，且以上各步皆可逆，
所以：

3

-

2

＞

6

-

5

     …（7分）
（2）假设1，

2

，3是某一个等差数列中的三项，且分别是第m，n，k项（m，n，k∈N^*），…（9分）
则数列的公差d=

2 -1

n-m

=

3-1

k-m

，则

2

-1=

2(n-m)

k-m

，
因为m，n，k∈N^*，所以（n-m），（k-m）∈Z，所以

2(n-m)

k-m

为有理数，…（12分）
所以

2

-1是有理数，这与

2

-1是无理数相矛盾．
故假设不成立，所以1，

2

，3不可能是某等差数列的三项．…（14分）

点评：本题主要考查利用分析法证明不等式，利用用分析法证明不等式的关键是寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件已经显然具备为止；反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得．应用反证法证明的具体步骤是：①反设：作出与求证结论相反的假设； ②归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；③结论：说明反设成立，从而肯定原命题成立．