Question

已知函数f（x）=|x+1|+|x-3|．
（1）求不等式f（x）＜6的解集；
（2）若关于x的方程f（x）=|a-2|有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）原不等式等价于

x＜-1 -(x+1)-(x-3)＜6

或

-1≤x≤3 (x+1)-(x-3)＜6

或

x＞3 (x+1)+(x-3)＜6

＜0，分别解每一个不等式，最后取其并集即可；
（2）利用绝对值不等式可得f（x）=|x+1|+|x-3|≥|x+1-x-3|=4，依题意，解不等式|a-2|≥4即可求得实数a的取值范围．

解答： 解：（1）原不等式等价于

x＜-1 -(x+1)-(x-3)＜6

或

-1≤x≤3 (x+1)-(x-3)＜6

或

x＞3 (x+1)+(x-3)＜6

＜0…（3分）
解得-2＜x＜-1或-1≤x≤3或3＜x＜4，
故原不等式的解集为{x|-2＜x＜4}．…（5分）
（2）∵f（x）=|x+1|+|x-3|≥|x+1-x-3|=4．…（7分）
又关于x的方程f（x）=|a-2|有解，
∴|a-2|≥4，即a-2≥4或a-2≤-4，解得a≥6或a≤-2，…（9分）
所以实数a的取值范围为a≥6或a≤-2．…（10分）

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，考查解不等式的能力，属于中档题．