Question

对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把函数y=f（x）（x∈D）叫做闭函数．
（1）求闭函数y=x 

1

3

符合条件②的区间[a，b]；
（2）若y=2+

x-k

是闭函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：规律型,函数的性质及应用

分析：（1）确定y=x

1

3

在[a，b]上递增，可得

b=b 1 3 a=a 1 3 b＞a

，解方程组，即可得出结论；
（2）易知y=2+

x-k

是增函数，符合条件①；设函数符合条件②的区间为[a，b]，则

a=2+ a-k b=2+ b-k

，故a，b为方程x=2+

x-k

的两个实数根，即方程x²-5x+4+k=0（x≥2且x≥k）有两个不相等的实根，构造关于k的不等式组，解不等式组可得答案．

解答： 解：（1）由题意，y=x

1

3

在[a，b]上递增，
则

b=b 1 3 a=a 1 3 b＞a

，
解得

a=-1 b=0

或

a=-1 b=1

或

a=0 b=1

，
所以，所求的区间为[-1，0]或[-1，1]或[0，1]．…（6分）（解得一个区间得2分）
（2）若y=2+

x-k

是闭函数，则存在区间[a，b]，
在区间[a，b]上，函数y=f（x）的值域为[a，b]…（6分）
容易证明函数y=2+

x-k

在定义域内单调递增，
∴

a=2+ a-k b=2+ b-k

       …（8分）
∴a，b为方程x=2+

x-k

的两个实数根．…（10分）
即方程x²-5x+4+k=0（x≥2且x≥k）有两个不相等的实根．
∴

k＜2 △=25-16-4k＞0 4-5•2+4+k≥0

或

2≤k＜ 5 2 △=25-16-4k＞0 k-5k+4+k≥0

 …（14分）
解得2≤k＜

9

2

，综上所述，k∈[2，

9

4

)   …（16分）

点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．