Question

已知数列{a_n}中，a₁=

1

2

，a_n+1=

1

2

a_n+1（n∈N⁺），令b_n=a_n-2
（1）求证：{b_n}是等比数列，并求b_n．
（2）求通项a_n，并求{a_n}前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）令b_n=a_n-2，a_n=b_n+2，所以b_n+1+2=

bn+2

2

+1=

bn

2

+2，由此能证明{b_n}是首项为-

3

2

，公比为

1

2

的等比数列．由此能求出b_n．
（2）由a_n=b_n+2，能求出通项a_n和{a_n}前n项和S_n．

解答： （1）证明：∵数列{a_n}中，a₁=

1

2

，a_n+1=

1

2

a_n+1（n∈N⁺），
令b_n=a_n-2，a_n=b_n+2，
∴b_n+1+2=

bn+2

2

+1=

bn

2

+2，
∴b_n+1=

bn

2

，∴

bn+1

bn

=

1

2

，
∵b1=a1-2=

1

2

-2=-

3

2

，
∴{b_n}是首项为-

3

2

，公比为

1

2

的等比数列．
∴bn=(-

3

2

)•(

1

2

)n-1=（-3）•（

1

2

）ⁿ．
（2）解：∵a_n=b_n+2，
∴a_n=(-3)•(

1

2

)n+2．
∴S_n=

- 3 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

+2n=

3

2n

+2n-3．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，是中档题．