Question

4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球半径为（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． $\frac{7\sqrt{2}}{3}$
• C． $\sqrt{11}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据三视图知几何体是三棱锥为棱长为4的正方体一部分，画出直观图，由正方体的性质求出棱长、判断出各面形状，画出三棱锥C-ABD以及外接球，由△ABD是等边三角形，判断出球心O在△ABD的射影的位置，判断线与线的位置关系，设出未知数画出平面图形，利用勾股定理列出方程组，求出该四面体的外接球半径．

解答 解：由三视图知几何体是三棱锥A-BCD，为棱长为4的正方体一部分，
直观图如图所示：
由正方体的性质可得，AB=AD=BD=4$\sqrt{2}$，
AC=BC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，CD=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}+{4}^{2}}$=6，
设三棱锥C-ABD的外接球球心是O，设半径是R，
取AB的中点E，连接CE、DE，如图所示：
设OA=OB=OC=OD=R，△ABD是等边三角形，
∴O在底面△ABD的射影是△ABD中心F，
∵DE⊥BE，BE=2$\sqrt{2}$，∴DE=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}-（2\sqrt{2}）^{2}}$=$2\sqrt{6}$，
同理可得，CE=$2\sqrt{3}$，则满足CE²+DE²=CD²，即CE⊥DE，
在RT△CED中，设OF=x，
∵F是等边△ABD的中心，
∴$DF=\frac{2}{3}DE=\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
$EF=\frac{1}{3}DE=\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
则$\left\{\begin{array}{l}{O{D}^{2}=O{F}^{2}+D{F}^{2}}\\{O{C}^{2}=E{F}^{2}+（CE-OF）^{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{R}^{2}={x}^{2}+{（\frac{4\sqrt{6}}{3}）}^{2}}\\{{R}^{2}={（\frac{2\sqrt{6}}{3}）}^{2}+{（2\sqrt{3}-x）}^{2}}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
代入其中一个方程得，R=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}+（\frac{4\sqrt{6}}{3}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{99}{9}}$=$\sqrt{11}$，
∴该四面体的外接球半径是$\sqrt{11}$，
故选：C．

点评 本题考查由三视图求几何体外接球的表面积，以及三棱锥外接球问题，在三视图与直观图转化过程中，以一个正方体为载体是很好的方式，使得作图更直观，考查空间想象能力．