Question

14．已知函数f（x）=log_a$\frac{1-x}{b+x}$（0＜a＜1）为奇函数，当x∈（-1，a]时，函数f（x）的值域是（-∞，1]，则实数a+b的值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据函数f（x）为奇函数，建立方程关系即可求出b，然后根据分式函数和对数函数的单调性建立条件关系即可求出a．

解答 解：∵函数f（x）=log_a$\frac{1-x}{b+x}$（0＜a＜1）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）+f（x）=0，
∴log_a$\frac{1-x}{b+x}$+log_a$\frac{1+x}{b-x}$=log_a$\frac{1-x}{b+x}$•$\frac{1+x}{b-x}$=0，
即$\frac{1-x}{b+x}$•$\frac{1+x}{b-x}$=1，
∴1-x²=b²-x²，
即b²=1，解得b=±1．
当b=-1时，函数f（x）=log_a$\frac{1-x}{b+x}$=f（x）=log_a$\frac{1-x}{-1+x}$=log_a（-1）无意义，舍去．
当b=1时，函数f（x）=log_a$\frac{1-x}{b+x}$=log_a$\frac{1-x}{1+x}$为奇函数，满足条件．
∵$\frac{1-x}{1+x}$=-1+$\frac{2}{1+x}$，在（-1，+∞）上单调递减．
又0＜a＜1，
∴函数f（x）=log_a$\frac{1-x}{1+x}$在x∈（-1，a）上单调递增，
∵当x∈（-1，a）时，函数f（x）的值域是（-∞，1），
∴f（a）=1，
即f（a）=log_a$\frac{1-a}{1+a}$=1，
∴$\frac{1-a}{1+a}$=a，
即1-a=a+a²，
∴a²+2a-1=0，
解得a=-1±$\sqrt{2}$，
∵0＜a＜1，
∴a=-1+$\sqrt{2}$，
∴a+b=-1+$\sqrt{2}$+1=$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查函数奇偶性的性质的应用，以及复合函数的单调性的应用，考查函数性质的综合应用．