Question

19．如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为1的正方形，CC₁=2，点P是侧棱C₁C的中点．
（1）求证：A₁P⊥平面PBD；
（2）求平面A₁BP与平面CDD₁C₁所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结AC，推导出AC⊥BD，CC₁⊥BD，从而BD⊥A₁P，再由勾股定理得BP⊥A₁P，由此能证明A₁P⊥平面PBD．
（2）以D为坐标原点，DA，DC，DD₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面A₁BP与平面CDD₁C₁所成锐二面角的余弦值．

解答 证明：（1）连结AC，∵底面ABCD是正方形，AC⊥BD，
又∵侧棱CC₁⊥底面ABCD，∴CC₁⊥BD，
∵AC∩CC₁=C，∴BD⊥平面AA₁PC，则BD⊥A₁P，
∵${A}_{1}P=\sqrt{3}$，BP=$\sqrt{2}$，${A}_{1}B=\sqrt{5}$，∴${A}_{1}{P}^{2}+B{P}^{2}={A}_{1}{B}^{2}$，∴BP⊥A₁P，
∵BD∩BP=B，∴A₁P⊥平面PBD．
解：（2）以D为坐标原点，DA，DC，DD₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A₁（1，0，2），B（1，1，0），P（0，1，1），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，1，-2），$\overrightarrow{PB}$=（1，0，-1），
设平面A₁BP的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=x-z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，2，1），
向量$\overrightarrow{DA}=（1，0，0）$是平面CDD₁C₁的一个法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{DA}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{DA}|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+1+4}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴平面A₁BP与平面CDD₁C₁所成锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．