Question

对于数列{a_n}，定义H_n=

a1+2a2+…+2n-1an

n

为{a_n}的“优值”，现在已知某数列{a_n}的“优值”H_n=2ⁿ⁺¹，记数列{a_n-kn}的前n项和为S_n，若S_n≤S₅对任意的n（n∈N^*）恒成立，则实数k的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：由题意，a₁+2a₂+…+2^n-1a_n=n2ⁿ⁺¹，a₁+2a₂+…+2^n-2a_n-1=（n-1）2ⁿ，从而求出a_n=2（n+1），可得数列{a_n-kn}为等差数列，从而将S_n≤S₅对任意的n（n∈N^*）恒成立化为a₅≥0，a₆≤0；从而求解．

解答： 解：由题意，
H_n=

a1+2a2+…+2n-1an

n

=2ⁿ⁺¹，
则a₁+2a₂+…+2^n-1a_n=n2ⁿ⁺¹，
a₁+2a₂+…+2^n-2a_n-1=（n-1）2ⁿ，
则2^n-1a_n=n2ⁿ⁺¹-（n-1）2ⁿ
=（n+1）2ⁿ，
则a_n=2（n+1），
对a₁也成立，
故a_n=2（n+1），
则a_n-kn=（2-k）n+2，
则数列{a_n-kn}为等差数列，
故S_n≤S₅对任意的n（n∈N^*）恒成立可化为
a₅≥0，a₆≤0；
即

5(2-k)+2≥0 6(2-k)+2≤0

解得，

7

3

≤k≤

12

5

，
故答案为：

7

3

≤k≤

12

5

．

点评：本题考查了等差数列的前n项和的最值及数列的通项公式的求法的问题，属于中档题．