题目内容
设函数f（x）=
．
（1）求证：f（x）+f（1-x）=1；
（2）若f（x）+f（1-x）=1，根据f（x）=
，写出一个更为一般的函数g（x）；
（3）计算：f（
）+f（
）+…+f（
）．
| 9x |
| 9x+3 |
（1）求证：f（x）+f（1-x）=1；
（2）若f（x）+f（1-x）=1，根据f（x）=
| 9x |
| 9x+3 |
（3）计算：f（
| 1 |
| 2014 |
| 2 |
| 2014 |
| 2013 |
| 2014 |
考点：函数的零点,函数的值
专题：计算题,证明题,函数的性质及应用
分析：（1）运用指数的运算性质，化简整理，即可得证；
（2）设g（x）=
，则由g（x）+g（1-x）=1，可得a=b2，即可得到g（x）；
（3）由（1）的结论，即可计算得到所求的和．
（2）设g（x）=
| ax |
| ax+b |
（3）由（1）的结论，即可计算得到所求的和．
解答：
（1）证明：f（x）+f（1-x）=
+
=
+
=
+
=1，
即有f（x）+f（1-x）=1；
（2）解：设g（x）=
，则由g（x）+g（1-x）=1，
即有
+
=
+
=1．
则有a=b2，
故g（x）=
；
（3）解：由于f（x）+f（1-x）=1，
则设S=f（
）+f（
）+…+f（
），
则S=f（
）+f（
）+…+f（
）．
即有2S=（f（
）+f（
））+（f（
）+f（
））+…+（f（
）+f（
））
=2013，
故S=
．
| 9x |
| 9x+3 |
| 91-x |
| 91-x+3 |
=
| 9x |
| 9x+3 |
| 9 |
| 9+3•9x |
| 9x |
| 9x+3 |
| 3 |
| 3+9x |
即有f（x）+f（1-x）=1；
（2）解：设g（x）=
| ax |
| ax+b |
即有
| ax |
| ax+b |
| a1-x |
| a1-x+b |
| ax |
| ax+b |
| a |
| a+b•ax |
则有a=b2，
故g（x）=
| ax | ||
ax+
|
（3）解：由于f（x）+f（1-x）=1，
则设S=f（
| 1 |
| 2014 |
| 2 |
| 2014 |
| 2013 |
| 2014 |
则S=f（
| 2013 |
| 2014 |
| 2012 |
| 2014 |
| 1 |
| 2014 |
即有2S=（f（
| 1 |
| 2014 |
| 2013 |
| 2014 |
| 2 |
| 2014 |
| 2012 |
| 2014 |
| 2013 |
| 2014 |
| 1 |
| 2014 |
=2013，
故S=
| 2013 |
| 2 |
点评：本题考查指数的运算性质，考查函数的函数值之间的关系式，考查运算能力，属于中档题．
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