Question

已知函数f（x）=

x+a

x+1

（x≥0）的最小值为2

2

，求实数a的值．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：化简f（x），令t=

x+1

（t≥1）．则y=t+

a-1

t

，讨论a＞1，a=1，a＜1，判断函数的单调性，求出最小值，解方程求出a，注意范围，即可得到．

解答： 解：函数f（x）=

x+a

x+1

（x≥0），
即为f（x）=

x+1+a-1

x+1

=

x+1

+

a-1

x+1

，
当a=1时，f（x）最小值为1；
令t=

x+1

（t≥1）．则y=t+

a-1

t

，
当a＞1时，y=t+

a-1

t

在0＜t＜

a-1

上递减，t＞

a-1

上递增，
若1≤

a-1

，即a≥2，则取最小值2

a-1

，由2

a-1

=2

2

，解得a=3成立；
若1＞

a-1

，即a＜2，则取最小值1+a-1=a，即a=2

2

，不成立；
当a＜1时，则y=t+

a-1

t

在t≥1递增，即最小值为a，即a=2

2

，不成立．
综上，a=3．

点评：本题考查函数的单调性和运用，考查基本不等式的运用，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．