题目内容
已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）=|t（x+
）-5|，其中常函数t＞0
（1）若函数f（x）分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调，试求t的取值范围；
（2）当t=1时，方程f（x）=m有四个不等实根x1，x2，x3，x4
①证明：x1•x2•x3•x4=16；
②是否存在实数a，b，使得函数f（x）在区间[a，b]上单调，且f（x）的取值范围为[ma，mb]，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
| 4 |
| x |
（1）若函数f（x）分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调，试求t的取值范围；
（2）当t=1时，方程f（x）=m有四个不等实根x1，x2，x3，x4
①证明：x1•x2•x3•x4=16；
②是否存在实数a，b，使得函数f（x）在区间[a，b]上单调，且f（x）的取值范围为[ma，mb]，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
考点：根的存在性及根的个数判断
专题：函数的性质及应用
分析：（1）根据函数x+
的单调性和最值，得到要使函数f（x）=|t（x+
）-5|分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调，则g（x）=t（x+
）-5≥0，求其最小值后由其最小值大于等于0得答案；
（2）①画出t=1时函数的图象，由g（x）=m和g（x）=-m得两个方程，利用根与系数关系得到x1•x2•x3•x4=16；
②令f（x）=0，解得：x=1或x=4．然后分x∈（0，1），x∈（1，2），x∈（2，4），x∈（4，+∞）求得函数f（x）的解析式，增区间由
=
=m得到矛盾的式子，说明不存在实数a，b，使得函数f（x）在区间[a，b]上单调，且f（x）的取值范围为[ma，mb]．减区间x∈（0，1）容易说明不存在实数a，b．x∈（2，4）时可求得存在实数a，b，使得函数f（x）在区间[a，b]上单调，且f（x）的取值范围为[ma，mb]．
| 4 |
| x |
| 4 |
| x |
| 4 |
| x |
（2）①画出t=1时函数的图象，由g（x）=m和g（x）=-m得两个方程，利用根与系数关系得到x1•x2•x3•x4=16；
②令f（x）=0，解得：x=1或x=4．然后分x∈（0，1），x∈（1，2），x∈（2，4），x∈（4，+∞）求得函数f（x）的解析式，增区间由
| f(a) |
| a |
| f(b) |
| b |
解答：
（1）解：∵x∈（0，+∞），
∴x+
≥2
=4，当x=2时取最小值，且在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
要使函数f（x）=|t（x+
）-5|分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调，
则g（x）=t（x+
）-5≥0，即g（x）min=4t-5≥0，
∴t≥
；
（2）①证明：当t=1时，f（x）=|（x+
）-5|，其图象如图，
要使f（x）=m有4个根，则0＜m＜1，
令g（x）=m，则x2-（5+m）x+4=0，
∴x1x4=4，
令g（x）=-m，
则x2-（5-m）x+4=0，
∴x2x3=4．
∴x1•x2•x3•x4=16；
②解：令f（x）=0，解得：x=1或x=4．
当x∈（1，2）时，f（x）=5-（x+
），
∴f(a)=5-(a+
)，f(b)=5-(b+
)，
由
=
=m，得5b-ab-
=
，即5ab+4a+4b=0，
∵a，b∈（1，2），
∴上式不成立，即实数a，b不存在；
当x∈（4，+∞）时，f（x）=x+
-5，
由
=
=m，得ab+
-5b=ab+
-5a，
整理得：
=
，即
+
=
．
∵a≥4，b≥4，
∴
+
≤
+
=
，与
+
=
矛盾，即实数a，b不存在；
当x∈（0，1）时，f（x）=x+
-5，
由f（a）=mb，f（b）=ma可得a+b=5，
∵a，b∈（0，1），矛盾，即实数a，b不存在；
当x∈（2，4）时，f（x）=5-（x+
），
由f（a）=mb，f（b）=ma可得a+b=5，
再由f（a）=mb，得m=
，把b=5-a代入得，
m=1-
，
∵2＜a＜4，
∴m∈(-∞，
]∪(2，+∞)．
综上，存在实数a，b∈（2，4），使得函数f（x）在区间[a，b]上单调，且f（x）的取值范围为[ma，mb]，
此时m的范围为(-∞，
]∪(2，+∞)．
∴x+
| 4 |
| x |
x•
|
要使函数f（x）=|t（x+
| 4 |
| x |
则g（x）=t（x+
| 4 |
| x |
∴t≥
| 5 |
| 4 |
（2）①证明：当t=1时，f（x）=|（x+
| 4 |
| x |
要使f（x）=m有4个根，则0＜m＜1，令g（x）=m，则x2-（5+m）x+4=0，
∴x1x4=4，
令g（x）=-m，
则x2-（5-m）x+4=0，
∴x2x3=4．
∴x1•x2•x3•x4=16；
②解：令f（x）=0，解得：x=1或x=4．
当x∈（1，2）时，f（x）=5-（x+
| 4 |
| x |
∴f(a)=5-(a+
| 4 |
| a |
| 4 |
| b |
由
| f(a) |
| a |
| f(b) |
| b |
| 4b |
| a |
| 4b2-4a2 |
| ab |
∵a，b∈（1，2），
∴上式不成立，即实数a，b不存在；
当x∈（4，+∞）时，f（x）=x+
| 4 |
| x |
由
| f(a) |
| a |
| f(b) |
| b |
| 4b |
| a |
| 4a |
| b |
整理得：
| 5 |
| 4 |
| a+b |
| ab |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 5 |
| 4 |
∵a≥4，b≥4，
∴
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 5 |
| 4 |
当x∈（0，1）时，f（x）=x+
| 4 |
| x |
由f（a）=mb，f（b）=ma可得a+b=5，
∵a，b∈（0，1），矛盾，即实数a，b不存在；
当x∈（2，4）时，f（x）=5-（x+
| 4 |
| x |
由f（a）=mb，f（b）=ma可得a+b=5，
再由f（a）=mb，得m=
| 5a-a2-4 |
| ab |
m=1-
| 4 |
| 5a-a2 |
∵2＜a＜4，
∴m∈(-∞，
| 9 |
| 25 |
综上，存在实数a，b∈（2，4），使得函数f（x）在区间[a，b]上单调，且f（x）的取值范围为[ma，mb]，
此时m的范围为(-∞，
| 9 |
| 25 |
点评：本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了数学转化、分类讨论、数形结合的解题思想方法，综合考查了学生灵活分析问题和解决问题的能力，属难度较大的题目．
练习册系列答案
相关题目
等差数列{an}前n项和Sn，满足S20=S40，下列结论正确的是（ ）
| A、S30是Sn中的最大值 |
| B、S20是Sn中的最小值 |
| C、S30=0 |
| D、S60=0 |