Question

14．已知直线l：（2λ+1）x+（λ+2）y+2λ+2=0（λ∈R），有下列四个结论：
①直线l经过定点（0，-2）；
②当λ∈[1，4+3$\sqrt{3}$]时，直线l的倾斜角θ∈[120°，135°]；
③若直线l在x轴和y轴上的截距相等，则λ=1；
④当λ∈（0，+∞）时，直线l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为$\frac{8}{9}$．
其中正确结论的是②④（填上你认为正确的所有序号）．

Answer 1

分析 利用直线系方程，求出直线恒过的定点，求解直线的斜率的表达式得到倾斜角的范围；求出截距，以及三角形的面积，判断即可．

解答 解：对于①，直线l：（2λ+1）x+（λ+2）y+2λ+2=0（λ∈R），
即：（x+2y+2）+λ（2x+y+2）=0，
可得$\left\{\begin{array}{l}{x+2y+2=0}\\{2x+y+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}{3}}\\{y=-\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，直线恒过（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{2}{3}$）．所以①不正确；
对于②，当λ∈[1，4+3$\sqrt{3}$]时，直线l：（2λ+1）x+（λ+2）y+2λ+2=0的斜率为：$-\frac{2λ+1}{λ+2}$=-2+$\frac{3}{λ+2}$，$\frac{3}{λ+2}∈[2-\sqrt{3}，1]$，
可得：$-\frac{2λ+1}{λ+2}$∈[-$\sqrt{3}$，-1]，直线的倾斜角的范围为：[120°，135°]，所以②正确；
对于③当x=0时，直线l：（2λ+1）x+（λ+2）y+2λ+2=0在y轴上的截距为：-$\frac{2λ+2}{λ+2}$．
当y=0时，直线l：（2λ+1）x+（λ+2）y+2λ+2=0在x轴上的截距为：$-\frac{2λ+2}{2λ+1}$．所以③不正确；
对于④，当λ∈（0，+∞）时，直线l与两坐标轴围成的三角形面积为：$\frac{1}{2}$×$\frac{2λ+2}{λ+2}$×$\frac{2λ+2}{2λ+1}$=1-$\frac{λ}{2{λ}^{2}+5λ+2}$=$1-\frac{1}{2λ+\frac{2}{λ}+5}$≥1-$\frac{1}{2\sqrt{2λ•\frac{2}{λ}}+5}$=1-$\frac{1}{9}$=$\frac{8}{9}$，当且仅当λ=1时，三角形的面积的最小值为$\frac{8}{9}$．④正确．
故答案为：②④．

点评 本题考查直线系方程的应用，直线的斜率以及直线的倾斜角，三角形的面积的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．