题目内容

4.已知非零向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{b}$|=4|$\overrightarrow{a}$|,且$\overrightarrow{a}$⊥(2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$),则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{2π}{3}$.

分析 利用两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义,求得$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ 的值.

解答 解:∵非零向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{b}$|=4|$\overrightarrow{a}$|,且$\overrightarrow{a}$⊥(2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$),设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ,
则$\overrightarrow{a}$•(2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$)=2${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2${|\overrightarrow{a}|}^{2}$+|$\overrightarrow{a}$|•4|$\overrightarrow{a}$|•cosθ=0,∴cosθ=-$\frac{1}{2}$,∴θ=$\frac{2}{3}π$,
故答案为:$\frac{2π}{3}$.

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义,两个向量垂直的性质,属于基础题.

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