Question

已知函数f（x）=lnx+ax²-3x
（Ⅰ）若f′（2）=

3

2

，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a＞0时，设函数f（x）的2个极值点为x₁，x₂，若f（x₁）+f（x₂）=-

9

4a

，求a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求导，代入求出a的值，再根据导数和函数的单调性的关系求出单调区间；
（Ⅱ）根据导数等于0，利用韦达定理，得到x₁+x₂=

3

2a

，x₁•x₂=

1

2a

，由f（x₁）+f（x₂）=-

9

4a

，整理化简的ln（2a）=1，求出a的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx+ax²-3x，
∴函数的定义域为（0，+∞）
∴f′（x）=

1

x

+2ax-3，f′（2）=

3

2

，
∴

3

2

=

1

2

+4a-3
解得a=1，
∴f′（x）=

1

x

+2x-3=

2x2-3x+1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

，
令f′（x）=0，解得x=

1

2

，或x=1，
当f′（x）＞0，即0＜x＜

1

2

，或x＞1，
当f′（x）＜0，即

1

2

＜x＜1，
故函数的单调增区间为（0，

1

2

）∪（1，+∞），单调减区间为（

1

2

，1）．
（Ⅱ）∵f′（x）=

1

x

+2ax-3，函数f（x）的2个极值点为x₁，x₂，
令f′（x）=0，即

1

x

+2ax-3=0，
∴x₁，x₂是方程的2ax²-3x+1=0两个根，
∴x₁+x₂=

3

2a

，x₁•x₂=

1

2a

，
∵f（x₁）+f（x₂）=-

9

4a

，
∴lnx₁+ax₁²-3x₁+lnx₂+ax₂²-3x₂=lnx₁•x₂+a[（x₁+x₂）²-2x₁•x₂]-3（x₁+x₂）=ln

1

2a

+a（

9

4a2

-

1

a

）-

9

2a

=-

9

4a

，
即ln（2a）=1，解得a=

e

2

点评：本题主要考查了导数和函数的单调性的关系，以及导数和函数极值点，韦达定理的有关问题，属于中档题