Question

甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种（生产条件要求1≤x≤10），每一小时可获得的利润是100（5x+1-

3

2

）元
（Ⅰ）要使生产该产品2小时获得的利润为3000元，求x的值；
（Ⅱ）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）要使生产该产品2小时获得的利润为3000元，可得200（5x+1-

3

x

）=3000，即可求x的值；
（Ⅱ）可得生产1千克所获得的利润为90000（5+

1

x

-

3

x2

），1≤x≤10．进而得到生产900千克该产品获得的利润，利用二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，200（5x+1-

3

x

）=3000，即5x²-14x-3=0，
∵1≤x≤10，∴x=3；
（Ⅱ）生产900千克该产品获得的利润为90000（5+

1

x

-

3

x2

），1≤x≤10．
设f（x）=5+

1

x

-

3

x2

，1≤x≤10．
则f（x）=-3(

1

x

-

1

6

)2+

1

12

+5，当且仅当x=6取得最大值．
故获得最大利润为90000×

61

12

=457500元．
因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润457500元．

点评：正确理解题意和熟练掌握二次函数的单调性是解题的关键．