Question

已知圆C的圆心在直线y=x-1上，且A（2，0），B（

9

5

，

3

5

）在圆C上．
（1）求圆C的方程；
（2）若圆M：x²+（y-2

2

）²=r²（r＞0）与圆C相切．求直线y=

7

x截圆M所得弦长．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法即可求圆C的方程；
（2）根据圆与圆相切的条件，结合直线和圆心相交的弦长公式即可得到结论．

解答： 解：（1）设圆的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
∵圆心在直线y=x-1上，且A（2，0），B（

9

5

，

3

5

）在圆C上，
∴

- E 2 =- D 2 -1 4+2D+F=0 18 5 + 9 5 D+ 3 5 E+F=0

，解得

D=-2 E=0 F=0

，
即圆C的方程为x²+y²-2x=0；
（2）∵圆M：x²+（y-2

2

）²=r²（r＞0）与圆C相切．
∴圆心M坐标为（0，2

2

），
圆C的标准方程为（x-1）²+y²=1，
圆心C坐标为（1，0），半径R=1，
当两圆外切时，|CM|=3=1+r，解得r=2，
当两圆内切时，|CM|=3=r-1，解得r=4，
∵M当直线y=

7

x的距离d=

|2 2 |

7+1

=

2 2

2 2

=1，
∴当r=2时，直线y=

7

x截圆M所得弦长l=2

22-12

=2

3

，
∴当r=4时，直线y=

7

x截圆M所得弦长l=2

42-12

=2

15

．

点评：本题主要考查圆的方程的求解，以及直线弦长公式的应用，利用两圆相切的等价条件求出圆的半径是解决本题的关键．