Question

下列命题中：
①函数f（x）=

1

x

在定义域内为单调递减函数
②函数f（x）=x+

a

x

（x＞0）的最小值为2

a

③已知定义在R上周期为4的函数f（x）满足f（2-x）=f（2+x），则f（x）一定为偶函数
④已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），则a+b+c=0是f（x）有极值的必要不充分条件；
⑤已知函数f（x）=x-sinx，若a+b＞0，则f（a）+f（b）＞0．
其中正确命题的序号为

 

（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①函数f（x）=

1

x

在定义域内不具有单调性；
②函数f（x）=x+

a

x

（x＞0）a≤0时无最小值；
③由定义在R上周期为4的函数f（x）满足f（2-x）=f（2+x），可得f（x）=f（x+4）=f（-x），因此f（x）一定为偶函数；
④函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），∴f′（x）=3ax²+2bx+c，若函数f（x）有极值，则△＞0，可得b²＞3ac是函数f（x）取得极值的充要条件．当a+b+c=0时，满足△＞0，因此a+b+c=0是f（x）有极值的充分不必要条件；
⑤函数f（x）=x-sinx，利用导数可得函数f（x）在R上单调递增，又f（-x）=-f（x），可得函数f（x）是奇函数．即可判断出f（a）+f（b）＞0．

解答： 解：①函数f（x）=

1

x

在定义域内不具有单调性，因此不正确；
②函数f（x）=x+

a

x

（x＞0）a≤0时无最小值，因此不正确；
③已知定义在R上周期为4的函数f（x）满足f（2-x）=f（2+x），∴f（x）=f（x+4）=f（x+2+2）=f（2-（x+2））=f（-x），即f（-x）=f（x），因此f（x）一定为偶函数，正确；
④函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），∴f′（x）=3ax²+2bx+c，若函数f（x）有极值，则△=4b²-12ac＞0，∴b²＞3ac．这是函数f（x）取得极值的充要条件．
当a+b+c=0时，△=4b²+12a（a+b）=4(b+

3a

2

)2+3a2＞0，因此a+b+c=0是f（x）有极值的充分不必要条件，因此不正确；
⑤函数f（x）=x-sinx，则f′（x）=1-cosx≥0，∴函数f（x）在R上单调递增，又f（-x）=-f（x），∴函数f（x）是奇函数．
∵a+b＞0，∴a＞-b，∴f（a）＞f（-b）=-f（b），∴f（a）+f（b）＞0．
其中正确命题的序号为 ③⑤．
故答案为：③⑤．

点评：本题考查了简易逻辑的判断、三角函数的性质、一元二次方程的实数根与判别式的关系、函数的奇偶性与单调性周期性、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．