Question

17．已知正四棱锥的棱长都等于4，则该正四棱锥内切球的表面积为（32-16$\sqrt{3}$）π．

Answer 1

分析 求出正四棱锥的体积，然后求出正四棱锥的表面积，利用等体积方法求出内切求的半径，再求表面积．

解答 解：如图所示，设正四棱锥底面的中心为O，则
在直角△ABC中，AB=4，AC=4$\sqrt{2}$，
∴AO=CO=2$\sqrt{2}$，
在直角△PAO中，PO=AO=2$\sqrt{2}$，
∴正四棱锥的体积为：$\frac{1}{3}$•4²•2$\sqrt{2}$=$\frac{32\sqrt{2}}{3}$；
设正四棱锥内切球的半径为r，
正四棱锥的表面积为：4²+4•$\frac{\sqrt{3}}{4}$•4²=16+16$\sqrt{3}$，
正四棱锥的体积：$\frac{1}{3}$•（16+16$\sqrt{3}$）•r=$\frac{32\sqrt{2}}{3}$，
∴球的半径r=$\frac{2\sqrt{2}}{1+\sqrt{3}}$=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，
∴内切球的表面积为4π•${（\sqrt{6}-\sqrt{2}）}^{2}$=（32-16$\sqrt{3}$）π．
故答案为：（32-16$\sqrt{3}$）π．

点评 本题主要考查了正四棱锥内切球的表面积计算问题，等体积法求出球的半径是解题的关键．