Question

7．已知m，n∈N^*，f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ展开式中x的系数为19，则当x²的系数最小时展开式中x⁷的系数为156．

Answer 1

分析 m，n∈N^*，f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ展开式中x的系数为19，可得m+n=19．则当x²的系数=${∁}_{m}^{2}+{∁}_{n}^{2}$=n²-19n+171=$（n-\frac{19}{2}）^{2}$+$\frac{323}{4}$．可得n=10或9时，x²的系数取得最小值．可得f（x）=（1+x）⁹+（1+x）¹⁰．再利用通项公式即可得出．

解答 解：m，n∈N^*，f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ展开式中x的系数为19，
∴m+n=19．
则当x²的系数=${∁}_{m}^{2}+{∁}_{n}^{2}$=$\frac{m（m-1）+n（n-1）}{2}$=$\frac{（19-n）（18-n）+n（n-1）}{2}$=n²-19n+171=$（n-\frac{19}{2}）^{2}$+$\frac{323}{4}$．
∴n=10或9时，x²的系数最小为：81．
∴f（x）=（1+x）⁹+（1+x）¹⁰．
展开式中x⁷的系数=${∁}_{9}^{7}+{∁}_{10}^{7}$=156．
故答案为：156．

点评 本题考查了二项式定理的应用、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．