Question

5．在△ABC中，CB=3，CA=4，$|{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}}|=|{\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}}|$，M是线段AB上的动点（含A，B两个端点）．若$\overrightarrow{C{M}}=x\overrightarrow{C{A}}+y\overrightarrow{C{B}}$，（x，y∈R），则|x$\overrightarrow{CA}$-y$\overrightarrow{CB}$|的取值范围是[$\frac{12}{5}$，4]．

Answer 1

分析 图所示，由已知可得∠C=90°．斜边AB上的高h=$\frac{12}{5}$，根据向量的坐标运算和向量和向量的模即可求范围

解答 解：如图所示，

∵BC=3，CA=4，AB=5，3²+4²=5²，
∴∠C=90°．
∴斜边AB上的高h=$\frac{12}{5}$．
∵$\overrightarrow{C{M}}=x\overrightarrow{C{A}}+y\overrightarrow{C{B}}$=x（0，4）+y（3，0）=（3y，4x），
∴|$\overrightarrow{CM}$|=$\sqrt{16{x}^{2}+9{y}^{2}}$∈[$\frac{12}{5}$，4]．
∵x+y=x（0，4）+y（3，0）=（3y，4x），
则|x-y|=|x（0，4）-y（3，0）|=|（-3y，4x）|=$\sqrt{16{x}^{2}+9{y}^{2}}$∈[$\frac{12}{5}$，4]．
故答案为：$[{\frac{12}{5}，4}]$．

点评 本题考查了向量坐标运算、数量积运算性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．