Question

2．已知函数$f（x）=\frac{x^2}{{1+{x^2}}}$．
（1）分别求$f（2）+f（{\frac{1}{2}}），f（3）+f（{\frac{1}{3}}），f（4）+f（{\frac{1}{4}}）$的值，并归纳猜想一般性结论（不要求证明）；
（2）求值：$2f（2）+2f（3）+…+2f（{2017}）+f（{\frac{1}{2}}）+f（{\frac{1}{3}}）+…f（{\frac{1}{2017}}）+\frac{1}{2^2}f（2）+\frac{1}{3^2}f（3）+…+\frac{1}{{{{2017}^2}}}•f（{2017}）$．

Answer 1

分析 （1）代值计算即可，并猜想一般的结论，
（2）由（1）$f（x）+f（{\frac{1}{x}}）=1$，即可得出结论．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{x^2}{{1+{x^2}}}$，
∴$f（2）+f（{\frac{1}{2}}）=\frac{2^2}{{1+{2^2}}}+\frac{{{{（{\frac{1}{2}}）}^2}}}{{1+{{（{\frac{1}{2}}）}^2}}}=\frac{2^2}{{1+{2^2}}}+\frac{1}{{1+{2^2}}}=1$，
同理可得$f（3）+f（{\frac{1}{3}}）=1，f（4）+f（{\frac{1}{4}}）=1$，
猜想$f（x）+f（{\frac{1}{x}}）=1$．
（2）∵$f（x）+\frac{1}{x^2}f（x）=\frac{x^2}{{1+{x^2}}}（{1+\frac{1}{x^2}}）=1$，
又由（1）得，$f（x）+f（{\frac{1}{x}}）=1$，
则$2f（2）+2f（3）+…2f（{2017}）+f（{\frac{1}{2}}）+f（{\frac{1}{3}}）+…f（{\frac{1}{2017}}）+\frac{1}{2^2}f（2）+\frac{1}{3^2}f（3）+…\frac{1}{{{{2017}^2}}}f（{2017}）$
=$[{f（2）+f（{\frac{1}{2}}）+f（2）+\frac{1}{2^2}f（{\frac{1}{2}}）}]+[{f（3）+f（{\frac{1}{3}}）+f（3）+\frac{1}{3^2}f（{\frac{1}{3}}）}]+$$…[{f（{2017}）+f（{\frac{1}{2017}}）+f（{2017}）+\frac{1}{{{{2017}^2}}}f（{\frac{1}{2017}}）}]=2×2016=4032$．

点评 本题考查归纳推理，考查学生的计算能力，正确归纳是关键，属于中档题