Question

7．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长与底面边长相等，则AB₁与侧面ACC₁A₁所成角的正弦值等于（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{4}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{17}{18}$

Answer 1

分析 取A₁C₁中点E，连结B₁E，则B₁E⊥A₁C₁，B₁E⊥AA₁，从而B₁E⊥平面ACC₁A₁，进而∠B₁AE是AB₁与侧面ACC₁A₁所成角，由此能出AB₁与侧面ACC₁A₁所成角的正弦值．

解答 解：取A₁C₁中点E，连结B₁E，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长与底面边长相等，
∴B₁E⊥A₁C₁，B₁E⊥AA₁，
又A₁C₁∩AA₁=A₁，∴B₁E⊥平面ACC₁A₁，
∴∠B₁AE是AB₁与侧面ACC₁A₁所成角，
设正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长与底面边长为2，
则BE₁=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，AE=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，
∴sin∠B₁AE=$\frac{{B}_{1}E}{A{B}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
∴AB₁与侧面ACC₁A₁所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
故选：A．

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．