Question

10．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{n+1}{2n}{a_n}$，n∈N*
（1）求证：数列{a_n}为等比数列．
（2）求{a_n}数列的前n项和．

Answer 1

分析 （1）推导出$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{n+1}{2n}$，由此利用累乘法能求出a_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，从而求出$\frac{{a}_{n}}{n}$=（$\frac{1}{2}$）^n-1，由此能证明数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}为首项是1，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列．
（2）由a_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$=$n•（\frac{1}{2}）^{n-1}$，利用错位相减法能求出{a_n}数列的前n项和．

解答 证明：（1）∵在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{n+1}{2n}{a_n}$，n∈N*，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{n+1}{2n}$，
∴a_n=${a}_{1}×\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}×\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}×\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}×…×\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$
=1×$\frac{2}{2}×\frac{3}{4}×\frac{4}{6}×…×\frac{n}{2（n-1）}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}为首项是1，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列．
（2）∵a_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$=$n•（\frac{1}{2}）^{n-1}$，∴{a_n}数列的前n项和：
T_n=1×$（\frac{1}{2}）^{0}$+2×$\frac{1}{2}+3×（\frac{1}{2}）^{2}+4×（\frac{1}{2}）^{3}+…+n×（\frac{1}{2}）^{n-1}$，①
$\frac{1}{2}$T_n=1×$\frac{1}{2}$+$2×（\frac{1}{2}）^{2}+3×（\frac{1}{2}）^{3}+4×（\frac{1}{2}）^{4}$+…+n×（$\frac{1}{2}$）ⁿ，②
①-②，得：
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=1+$\frac{1}{2}+（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{3}+…+（\frac{1}{2}）^{n-1}$-n×（$\frac{1}{2}$）ⁿ
=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$-n×（$\frac{1}{2}$）ⁿ
=2-（n+2）×（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴T_n=4-（n+2）×（$\frac{1}{2}$）^n-1．

点评 本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累乘法和错位相减法的合理运用．