Question

15．已知函数f（x）=e^x（x²+2ax-a²）其中a是常数．
（1）求证：不论a取任何实数，f（x）在其定义域内都存在增区间与减区间；
（2）若关于x的方程f（x）=e^x（ax-a²+a）+k在[0，+∞）上有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到导函数有2个不相等的实数根，判断函数的单调性即可；
（2）令g′（x）=e^x[x²+（a+2）x）]=0，可解得x=-（a+2）或x=0，对-（a+2）与0的大小关系分类讨论，可求得关于x的方程g（x）=k在[0，+∞）上有两个不相等的实数根的k的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=e^x（x²+2ax-a²），
则f′（x）=e^x[x²+2（a+1）x+2a-a²]，
△=4（a+1）²-4（2a-a²）=8a²+4＞0，
故f′（x）=0有2个不相等的实数根，
故不论a取任何实数，f（x）在其定义域内都存在增区间与减区间；
（2）由f（x）=e^x（ax-a²+a）+k，
得：e^x（x²+ax-a）=k，令g（x）=e^x（x²+ax-a），
则由g′（x）=e^x[x²+（a+2）x）]=0，解得x=-（a+2）或x=0，
当-（a+2）≤0，即a≥-2时，在区间[0，+∞）上，g′（x）≥0，所以g（x）是[0，+∞）上的增函数．
所以方程g（x）=k在[0，+∞）上不可能有两个不相等的实数根，
当-（a+2）＞0，即a＜-2时，g′（x），g（x）随x的变化情况如下表

x	0	（0，-（a+2））	-（a+2）	（-（a+2），+∞）
g′（x）	0	-	0	+
g（x）	-a	↘	$\frac{a+4}{{e}^{a+2}}$	↗

由上表可知函数f（x）在[0，+∞）上的最小值为g（-（a+2））=$\frac{a+4}{{e}^{a+2}}$，
因为函数g（x）是（0，-（a+2））上的减函数，是（-（a+2），+∞）上的增函数，
且当x≥-a时，有g（x）≥e^-a（-a）＞-a；
所以要使方程x的方程f（x）=e^x（ax-a²+a）+k在[0，+∞）上有两个不相等的实数根，
k的取值范围必须是（$\frac{a+4}{{e}^{a+2}}$，-a]．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性、极值问题，突出考查分类讨论思想与转化思想的应用，考查综合分析与综合运算的能力，属于难题．