Question

2．已知函数$f（x）=2{cos^2}（x-\frac{π}{4}）-\sqrt{3}$cos2x+1，
（1）求函数f（x）的最小正周期及对称轴方程；
（2）若对任意实数x，不等式|f（x）-m|＜2在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用辅助角公式或二倍角和两角基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，根据正弦函数的对称轴方程求其对称轴方程．最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（2）不等式|f（x）-m|＜2在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，可得-2＜f（x）-m＜2在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，求解f（x）＜2+m和f（x）＞m-2在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，可得实数m的取值范围．

解答 解：（1）函数$f（x）=2{cos^2}（x-\frac{π}{4}）-\sqrt{3}$cos2x+1，
化简得：f（x）=1+cos（2x-$\frac{π}{2}$）-$\sqrt{3}$cos2x+1=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+2=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+2．
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$；
对称轴方程；2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}+kπ$，（k∈Z）
解得：x=$\frac{5π}{6}+\frac{1}{2}kπ$．
即函数f（x）的对称轴方程；x=$\frac{5π}{6}+\frac{1}{2}kπ$，（k∈Z）．
（2）由（1）可知f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+2．
对任意实数x，不等式|f（x）-m|＜2在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，
只需f（x）_max＜2+m和f（x）_min＞m-2在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上恒成立，
∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，
∴2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]．
当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值为4．
当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$时，函数f（x）取得最小值为3．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2+m＞4}\\{m-2＜3}\end{array}\right.$，
解得：2＜m＜5．
故得实数m的取值范围是（2，5）．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．