Question

12．等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C-AB-D的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，M，N分别是AC．BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． $\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 先找出二面角的平面角，建立边之间的等量关系，再利用向量法将所求异面直线用基底表示，然后利用向量的所成角公式求出所成角即可．

解答 解：设AB=2，作CO⊥面ABDE，
OH⊥AB，则CH⊥AB，∠CHO为二面角C-AB-D的平面角，
CH=$\sqrt{3}$，OH=CHcos∠CHO=1，
结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，
则AN=EM=CH=$\sqrt{3}$，$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}$），$\overrightarrow{EM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AE}$，
∴$\overrightarrow{AN}•\overrightarrow{EM}$=$\frac{1}{2}$．
故EM，AN所成角的余弦值$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{3}•\sqrt{3}}$=$\frac{1}{6}$，
故选D．

点评 本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．