Question

12．假设关于某设备使用年限x和所支出的维修费用y（万元）有如下的统计资料：

使用年限x	2	3	4	5	6
维修费用y	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

若由资料知y对x呈线性相关关系．
试求：（1）线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$的回归系数$\stackrel{∧}{a}$，$\stackrel{∧}{b}$；
（2）估计使用年限为10时，维修费用是多少？
（参考公式）$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{∧}{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}}\\{\stackrel{∧}{a}=\stackrel{∧}{y}-\stackrel{∧}{b}\overline{x}}\end{array}\right.$，其中$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i}$，$\overline{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{y_i}$．

Answer 1

分析 （1）根据所给的数据，做出变量x，y的平均数，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数$\hat{b}$，在根据样本中心点一定在线性回归直线上，求出$\hat{a}$的值．
（2）根据第一问做出的$\hat{a}$，$\hat{b}$的值，写出线性回归方程，当自变量为10时，代入线性回归方程，求出维修费用，这是一个预报值．

解答 解析：（1）制表如下：

i	1	2	3	4	5	合计
xi	2	3	4	5	6	20
yi	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0	25
xiyi	4.4	11.4	22.0	32.5	42.0	112.3
?${x_i}^2$	4	9	16	25	36	90
?$\overline{x}=4$；?$\overline{y}=5$；?$\sum_{i=1}^n{{x_i}^2}=90$；$\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}=112.3$

于是$\hat b=\frac{112.3-5×4×5}{{90-5×{4^2}}}=1.23$，$\hat a=\hat y-\hat b\overline{x}=5-1.23×4=0.08$．
（2）回归直线方程为$\hat y=1.23x+0.08=12.38$．
当x=10时，$\hat y=12.38$，即估计使用10年时，维修费用是12.38万元．

点评 本题考查线性回归方程，考查最小二乘法，考查预报值的求法，是一个新课标中出现的新知识点，已经在广东的高考卷中出现过类似的题目