Question

14．将函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+sin²x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿x轴向右平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）的一个递增区间是（　　）

• A． $[{-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}]$
• B． $[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$
• C． $[{-\frac{π}{12}，\frac{4π}{3}}]$
• D． $[{-\frac{π}{4}，0}]$

Answer 1

分析 利用三角恒等变换化简函数的解析式为 f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求函数g（x），令x-$\frac{π}{3}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z即可得解．

解答 解：f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+sin²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得对应的函数解析式为y=sin（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
再沿x轴向右平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数解析式为y=g（x）=sin（x-$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=sin（x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$，
令x-$\frac{π}{3}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z，解得：x∈[-$\frac{π}{6}$+2kπ，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z，
取k=0，可得：x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]．
故选：A．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．