Question

已知f（x）是定义在R上的函数，且满足f（1+x）=f（1-x），则“f（x）为偶函数”是“2为函数f（x）的一个周期”的（　　）

• A、充分不必要条件
• B、必要不充分条件
• C、充要条件
• D、既不充分也不必要条件

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：若f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x），所以f（x+2）=f（1+（x+1））=f（1-（x+1））=f（-x）=f（x），所以2是函数f（x）的一个周期；若2是函数f（x）的一个周期，则f（x）=f（x+2）=f（1+（x+1））=f（1-（x+1））=f（-x），所以f（x）为偶函数，所以得到：“f（x）为偶函数“是“2为函数f（x）的一个周期“的充要条件．

解答： 解：（1）若f（x）为偶函数，则：f（-x）=f（x）；
∴由已知条件得：f（x+2）=f[（x+1）+1]=f[1-（x+1）]=f（-x）=f（x）；
∴2为函数f（x）的一个周期；
∴“f（x）为偶函数“是“2为函数f（x）的一个周期的充分条件“；
（2）若2为函数f（x）的一个周期，则：f（x）=f（x+2）=f[1+（x+1）]=f[1-（x+1）]=f（-x）；
∴函数f（x）为偶函数；
∴“f（x）为偶函数“是“2为函数f（x）的一个周期“的必要条件；
综合（1）（2）得，“f（x）为偶函数“是“2为函数f（x）的一个周期“的充要条件．
故选C．

点评：考查函数周期的概念，偶函数的概念以及充分条件，必要条件，充要条件的概念．