Question

13．在△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b=$\sqrt{2}$，c=1，cosB=$\frac{3}{4}$．
（1）求sinC的值；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数基本关系式可求sinB，由正弦定理可得sinC的值．
（2）由c＜b，可得C为锐角，由（1）可得cosC，利用两角和的正弦函数公式可求sinA的值，利用三角形面积公式即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵b=$\sqrt{2}$，c=1，cosB=$\frac{3}{4}$．
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴由正弦定理可得：sinC=$\frac{csinB}{b}$=$\frac{1×\frac{\sqrt{7}}{4}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{8}$…4分
（2）∵c＜b，C为锐角，
∴由（1）可得：cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\frac{5\sqrt{2}}{8}$，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{\sqrt{7}}{4}$×$\frac{5\sqrt{2}}{8}$+$\frac{3}{4}$×$\frac{\sqrt{14}}{8}$=$\frac{\sqrt{14}}{4}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×1×$$\frac{\sqrt{14}}{4}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$…12分

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．