Question

3．已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=2截y轴所得线段与截直线y=2x+b所得线段的长度相等，则b=（　　）

• A． $-\sqrt{6}$
• B． ±$\sqrt{6}$
• C． $-\sqrt{5}$
• D． ±$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 解法一：由题意可得圆C截直线y=2x+b所得线段的长为2，圆心C（1，2）到直线y=2x+b的距离为1，即$\frac{|2×1-2+b|}{\sqrt{5}}$=1，由此求得b的值．
解法二：由题意可得圆心（1，2）到y轴的距离等于圆心（1，2）到直线y=2x+b的距离，即 $\frac{|2×1-2+b|}{\sqrt{5}}$=1，由此求得b的值．

解答 解：解法一：把x=0，代入圆C：（x-1）²+（y-2）²=2，求得y=1，或 y=3，
可得圆截y轴所得线段长为2，
故圆C（x-1）²+（y-2）²=2截直线y=2x+b所得线段的长为2．
故圆心C（1，2）到直线y=2x+b的距离为1，即$\frac{|2×1-2+b|}{\sqrt{5}}$=1，∴b=±$\sqrt{5}$．
故选：D．
解法二：根据圆C：（x-1）²+（y-2）²=2截y轴所得线段与截直线y=2x+b所得线段的长度相等，
可得圆心（1，2）到y轴的距离等于圆心（1，2）到直线y=2x+b的距离．
而圆心（1，2）到y轴的距离等于为1，故圆心（1，2）到直线y=2x+b的距离也等于1，
即 $\frac{|2×1-2+b|}{\sqrt{5}}$=1，∴b=±$\sqrt{5}$．
故选：D．

点评 本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题．