Question

3．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2\sqrt{x-1}，（{x≥2}）\\ 2，（{1≤x＜2}）\end{array}\right.$，若方程f（x）=ax+1恰有一个解时，则实数a的取值范围$（0，\frac{1}{2}）∪（{\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}，1}]$．

Answer 1

分析 由题意作函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2\sqrt{x-1}，（{x≥2}）\\ 2，（{1≤x＜2}）\end{array}\right.$与y=ax+1的图象，利用斜率公式求求直线n，l的斜率，利用导数求直线m的斜率，从而解得．

解答 解：作函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2\sqrt{x-1}，（{x≥2}）\\ 2，（{1≤x＜2}）\end{array}\right.$与y=ax+1的图象如下，
，
y=ax+1恒过点（0，1），
当直线y=ax+1过点（2，2）时，则$a=\frac{1}{2}$，满足方程有两个解；
当直线y=ax+1与$f（x）=2\sqrt{x-1}$相切时，则$a=\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}$，满足方程有两个解；
直线l的斜率为a=$\frac{2-1}{1-0}$=1，
故所求范围为$（0，\frac{1}{2}）∪（{\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}，1}]$，
故答案为：$（0，\frac{1}{2}）∪（{\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}，1}]$．

点评 本题考查了导数的几何意义的应用及数形结合的思想应用，同时考查了方程的根与函数的图象的关系应用．