Question

已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=

[x]

x

（x＞0），则给出以下四个结论：
①函数f（x）的值域为[0，1]；
②函数f（x）的图象是一条曲线；
③函数f（x）是（0，+∞）上的减函数；
④函数g（x）=f（x）-a有且仅有3个零点时

3

4

＜a≤

4

5

．
其中正确的序号为

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：通过举特例，可得①、②、③错误；数形结合可得④正确，从而得出结论．

解答： 解：由于符号[x]表示不超过x的最大整数，函数f（x）=

[x]

x

（x＞0），
取x=-1.1，则[x]=-2，∴f（x）=

-2

-1.1

＞1，故①不正确．
由于当0＜x＜1，[x]=0，此时f（x）=0；
当1≤x＜2，[x]=1，此时f（x）=

1

x

；
当2≤x＜3，[x]=2，此时f（x）=

2

x

，此时

2

3

＜f（x）≤1，
当3≤x＜4，[x]=3，此时f（x）=

3

x

，此时

3

4

＜g（x）≤1，
当4≤x＜5，[x]=4，此时f（x）=

4

x

，此时

4

5

＜g（x）≤1，
故f（x）的图象不会是一条曲线，且 f（x）不会是（0，+∞）上的减函数，故排除②、③．
函数g（x）=f（x）-a有且仅有3个零点时，函数f（x）的图象和直线y=a有且仅有3个交点，
此时，

3

4

＜a≤

4

5

，故④正确，
故答案为：④．

点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于基础题．