Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，E、F分别是PB、CD的中点，且PB=PC=PD=4．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求证：EF∥平面PAD；
（3）求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取BC的中点M，连结AM，PM，由已知条件推导出PA⊥BC，PA⊥CD，由此能证明PA⊥平面ABCD．
（2）取PA的中点N，连结EN，ND，由已知得四边形ENDF是平行四边形，由此能证明EF∥平面PAD．
（3）取AB的中点G，过G作GH⊥PB于点H，连结HC，GC，由已知得∠GHC是二面角A-PB-C的平面角，由此能求出二面角A-PB-C的余弦值．

解答： （1）证明：取BC的中点M，连结AM，PM．
∵AB=BC，∠ABC=60°，∴△ABC为正三角形，∴AM⊥BC．
又PB=PC，∴PM⊥BC，AM∩PM=M，
∴BC⊥平面PAM，PA?平面PAM，∴PA⊥BC，
同理可证PA⊥CD，
又BC∩CD=C，∴PA⊥平面ABCD．…（4分）．
（2）证明：取PA的中点N，连结EN，ND．
∵PE=EB，PN=NA，∴EN∥AB，且EN=

1

2

AB．
又FD∥AB，且FD=

1

2

AB，∴EN

∥ .

.

DF，
∴四边形ENDF是平行四边形，
∴EF∥ND，而EF?平面PAD，ND?平面PAD，
∴EF∥平面PAD．…（8分）
（3）解：取AB的中点G，过G作GH⊥PB于点H，连结HC，GC．
则CG⊥AB，又CG⊥PA，PA∩AB=A，
∴CG⊥平面PAB．∴HC⊥PB，
∴∠GHC是二面角A-PB-C的平面角．
在Rt△PAB中，AB=2，PB=4，∴PA=2

3

．
又Rt△BHG∽Rt△BAP，∴

HG

PA

=

BG

PB

，∴HG=

3

2

．
在Rt△HGC中，可求得GC=

3

，
∴HC=

15

2

，∴cos∠GHC=

5

5

，
故二面角A-PB-C的余弦值为

5

5

．…（12分）．

点评：本题考查PA⊥平面ABCD的证明，考查EF∥平面PAD的证明，考查二面角A-PB-C的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．