Question

在等腰梯形ABCD中，设上底CD=40，腰AD=40，那么当AB=

 

时，等腰梯形的面积最大．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：计算题,应用题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：设AB=x，（x＞40）；等腰梯形的面积为y，从而可得y=

x+40

2

•

402-( x-40 2 )2

=

1

4

(x+40)3(120-x)

；再令f（x）=（x+40）³（120-x）；由导数确定函数的最大值点即即可．

解答： 解：设AB=x，（x＞40）；等腰梯形的面积为y，
则y=

x+40

2

•

402-( x-40 2 )2

=

1

4

(x+40)3(120-x)

；
令f（x）=（x+40）³（120-x）；
则f′（x）=3（x+40）²（120-x）-（x+40）³
=4（x+40）²（80-x）；
故当x∈（40，80）时，f′（x）＞0；
当x∈（80，120）时，f′（x）＜0；
故f（x）=（x+40）³（120-x）在x=80时取得最大值f（80）；
故时y=

x+40

2

•

402-( x-40 2 )2

也取得最大值；
故答案为：80．

点评：本题考查了导数的综合应用及函数的最值在实际问题中的应用，属于中档题．