Question

在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为800元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：

作物产量（kg）	300	500
概率	0.5	0.5

作物市场价格（元/kg）	6	10
概率	0.2	0.8

（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；
（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）X的所有值为：500×10-800=4200，500×6-800=2200，300×10-800=2200，300×6-800=100，分别求出对应的概率，即可求X的分布列；
（Ⅱ）分别求出3季中有2季的利润不少于2000元的概率和3季中利润不少于2000元的概率，利用概率相加即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，
则P（A）=0.5，P（B）=0.2，
∵利润=产量×市场价格-成本，
∴X的所有值为：500×10-800=4200，500×6-800=2200，
300×10-800=2200，300×6-800=100，
则P（X=4200）=P（

.

A

）P（

.

B

）=（1-0.5）×（1-0.2）=0.4，
P（X=2200）=P（

.

A

）P（B）+P（A）P（

.

B

）=（1-0.5）×0.2+0.5（1-0.2）=0.5，
P（X=1000）=P（A）P（B）=0.5×0.2=0.1，
则X的分布列为：

X	4200	2200	1000
P	0.4	0.5	0.1

（Ⅱ）设C_i表示事件“第i季利润不少于2000元”（i=1，2，3），
则C₁，C₂，C₃相互独立，
由（Ⅰ）知，P（C_i）=P（X=4200）+P（X=2200）=0.4+0.5=0.9（i=1，2，3），
3季的利润均不少于2000的概率为P（C₁C₂C₃）=P（C₁）P（C₂）P（C₃）=0.9³=0.729，
3季的利润有2季不少于2000的概率为P（

.

C1

C2C3）+P（C1

.

C2

C3）+P（C1C2

.

C3

）=3×0.9²×0.1=0.243，
综上：这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为：0.729+0.243=0.972．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．