Question

若

m

=(sinωx，cosωx)，

n

=(

3

cosωx，-cosωx)(ω＞0)，记f(x)=

m

•

n

，已知y=f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离为

π

4

．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足b²=ac，求f（B）的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）由平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换化简函数解析式可得：f（x）=sin(2ωx-

π

6

)-

1

2

，由周期公式即可求ω的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得：f(B)=sin(4B-

π

6

)-

1

2

．由b²=ac及余弦定理得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，由B的范围讨论可得角4B-

π

6

范围，从而可求f（B）的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=

m

•

n

=

3

sinωx•cosωx-cos2ωx
=

3

2

sin2ωx-

1

2

(cos2ωx+1)=sin(2ωx-

π

6

)-

1

2

可知f（x）的最小正周期为

π

2

且ω＞0，从而有

2π

2ω

=

π

2

，故ω=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=sin(4x-

π

6

)-

1

2

，
所以f(B)=sin(4B-

π

6

)-

1

2

．
因为b²=ac，
所以cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
又0＜B＜π，
所以0＜B≤

π

3

，得-

π

6

＜4B-

π

6

≤

7π

6

，
所以-

1

2

≤sin(4B-

π

6

)≤1，
从而有-1≤sin(4B-

π

6

)-

1

2

≤

1

2

，
即f（B）的值域为[-1，

1

2

]．

点评：本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，综合性较强，属于中档题．