Question

已知命题“若存在x₀≥4，不等式（x-a）•（x+1）≤2-a成立“的逆否命题为真，则实数a的取值范围是（　　）

• A、[

  9

  2

  ，+∞）
• B、（-∞，

  9

  2

  ]
• C、[

  7

  2

  ，+∞）
• D、（-∞，

  7

  2

  ]

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：命题“若存在x₀≥4，不等式（x-a）•（x+1）≤2-a成立“的逆否命题为真，因此原命题也为真命题．于是存在x₀≥4，不等式（x-a）•（x+1）≤2-a成立?a≥(x-

2

x

+1)min，x≥4．令f（x）=x-

2

x

+1，x≥4．利用导数研究其单调性极值最值即可得出．

解答： 解：命题“若存在x₀≥4，不等式（x-a）•（x+1）≤2-a成立“的逆否命题为真，
因此原命题也为真命题．
∴存在x₀≥4，不等式（x-a）•（x+1）≤2-a成立?a≥(x-

2

x

+1)min，x≥4．
令f（x）=x-

2

x

+1，x≥4．
∴f′（x）=1+

2

x2

＞0，
因此f（x）在[4，+∞）上单调递增，
∴当x=4时，函数f（x）取得最小值f（4）=

9

2

．
∴a≥

9

2

．
则实数a的取值范围是[

9

2

，+∞)．
故选：A．

点评：本题考查了利用导数研究其单调性极值最值、原没有与逆否命题的等价性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．