Question

已知函数f（x）=

1

4x

-

λ

2x-1

+3（-1≤x≤2）．
（1）若λ=

3

2

时，求函数f（x）的值域；
（2）若函数f（x）的最小值是1，求实数λ的值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）利用配方法求函数的值域；
（2）讨论对称轴的位置，从而求函数的最值，从而求实数λ的值．

解答： 解：（1）当λ=

3

2

时，f（x）=(

1

2x

)2-3

1

2x

+3
=（

1

2x

-

3

2

）²+

3

4

，
∵-1≤x≤2，
∴

1

4

≤

1

2x

≤2；
故

3

4

≤（

1

2x

-

3

2

）²+

3

4

≤

37

16

，
故函数f（x）的值域为[

3

4

，

37

16

]；
（2）由题意，f（x）=（

1

2x

-λ）²+3-λ²，
若3-λ²=1，即λ=±

2

时，
经检验，当λ=

2

时，成立；
若λ＞2，则4-4λ+3=1，解得，λ=

1

2

，不成立；
若λ＜

1

4

时，

1

16

-

λ

2

+3=1，解得，λ=4+

1

8

；
故不成立；
综上所述，λ=

2

．

点评：本题考查了函数的值域的求法及函数的最值的求法，属于中档题．